Extrait du sujet DNB Polynésie 2024

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f (x) = (x +2)² − x\) et \(g(x) = 7x +4\).

Partie A
1. Calculer \(f (−4)\).
2. Déterminer un antécédent de 3 par la fonction \(g\).

Partie B
Trois élèves, Paul, Jane et Morgane, cherchent à résoudre l’équation \(f (x) = g(x)\) par trois méthodes différentes.
1. Paul utilise un tableur. Il calcule ainsi les images des entiers compris entre −3 et 3 par les fonctions \(f\) et \(g\).

\(\begin {align*}\renewcommand{\arraystrech}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&A &B&C&D&E &F &G &H\\ \hline 1&x&-3& -2& -1& 0 &1 &2 &3\\ \hline2&f(x)&4&2 &2&4&8&14&22\\ \hline3& g(x)& -17& -10& -3& 4& 11& 18& 25\\\hline\end{array}\end{align*}\)

    a. Quelle formule a-t-il saisie en cellule B3 puis étirée vers la droite pour compléter la ligne 3     
    du tableau ?
    b. Avec cette méthode, quelle(s) solution(s) trouve-t-il à l’équation \(f (x) = g(x)\) ?

2. Jane utilise un logiciel de programmation. Le programme qu’elle a créé permet de tester l’égalité \(f (x) = g(x)\) pour une valeur de \(x\) choisie par l’utilisateur. Ce programme se trouve ci-dessous.

Elle décide de tester toutes les valeurs entières entre −5 et 3.
    a. Compléter la ligne 4 du programme de Jane afin d’obtenir l’image par la fonction \(g\) du
    nombre choisi.
    b. Quelle réponse donne le programme si le nombre choisi est 0 ?
    c. En déduire une solution de l’équation \(f (x) = g(x)\).

3. Morgane décide de résoudre cette équation par le calcul.
    a. Démontrer que l’équation \(f (x) = g(x)\) peut se ramener à l’équation \(x² −4x = 0\).
    b. Factoriser l’expression \(x² −4x\).
    c. En déduire les solutions de l’équation \(f (x) = g(x)\).